حل 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -18 است فهرست کنید.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-9 b=2$$

6x^{2}-7x-3 را به‌عنوان \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

از 3x در 6x^{2}-9x فاکتور بگیرید.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و 3x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -7 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

49 را به 72 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 121 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{7±11}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 11 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{12}$$

کسر \frac{18}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{7±11}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 11 را از 7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{12}$$

کسر \frac{-4}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}-7x=3$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

کسر \frac{3}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

-\frac{7}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{12} شود. سپس مجذور -\frac{7}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

-\frac{7}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{2} را به \frac{49}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

\frac{7}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$