حل 6x^2-5x-6=0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-6 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-9 b=4$$

6x^{2}-5x-6 را به‌عنوان \left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -5 را با b و -6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

25 را به 144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 6}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{5±13}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{5±13}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{18}{12}$$

کسر \frac{18}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{5±13}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{8}{12}$$

کسر \frac{-8}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

6 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

تفریق -6 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

-6 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}-5x=6$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{6}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

6 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=1$$

-\frac{5}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{12} شود. سپس مجذور -\frac{5}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

-\frac{5}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

1 را به \frac{25}{144} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{5}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$