حل 6x^2-19x=36

$$6 x ^ { 2 } - 19 x = 36$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

36 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-36 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-19 ab=6\left(-36\right)=-216$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -216 است فهرست کنید.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

جواب زوجی است که مجموع آن -19 است.

$$a=-27 b=8$$

6x^{2}-19x-36 را به‌عنوان \left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-27x\right)+\left(8x-36\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-9\right)\left(3x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-9=0 و 3x+4=0 را حل کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-19x=36$$

36 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}-19x-36=36-36$$

تفریق 36 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-19x-36=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -19 را با b و -36 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

-19 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\left(-36\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -36.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 6}$$

361 را به 864 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 1225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 6}$$

متضاد -19 عبارت است از 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{19±35}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{19±35}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 19 را به 35 اضافه کنید.

$$x=\frac{54}{12}$$

کسر \frac{54}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{9}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{19±35}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 35 را از 19 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{12}$$

کسر \frac{-16}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{4}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-19x=36$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-19x}{6}=\frac{36}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=\frac{36}{6}$$

36 را بر 6 تقسیم کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x=6$$

-\frac{19}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{19}{12} شود. سپس مجذور -\frac{19}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}=6+\left(-\frac{19}{12}\right)^{2}$$

-\frac{19}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=6+\frac{361}{144}$$

6 را به \frac{361}{144} اضافه کنید.

$$x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{1225}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{1225}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{19}{12}=\frac{35}{12} x-\frac{19}{12}=-\frac{35}{12}$$

\frac{19}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{4}{3}$$