حل 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx+2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 12 است فهرست کنید.

$$1,12 2,6 3,4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=3 b=4$$

6x^{2}+7x+2 را به‌عنوان \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x+1=0 و 3x+2=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، 7 را با b و 2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

-24 بار 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

49 را به -48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±1}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 1 اضافه کنید.

$$x=-\frac{6}{12}$$

کسر \frac{-6}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±1}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{8}{12}$$

کسر \frac{-8}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

2 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

تفریق 2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}+7x=-2$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

کسر \frac{-2}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

\frac{7}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{12} شود. سپس مجذور \frac{7}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

\frac{7}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{3} را به \frac{49}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

\frac{7}{12} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$