حل 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -6 است فهرست کنید.

$$1,-6 2,-3$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-6 b=1$$

6x^{2}-5x-1 را به‌عنوان \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

از 6x در 6x^{2}-6x فاکتور بگیرید.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 6x+1=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، -5 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

25 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{5±7}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{12}$$

12 را بر 12 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{5±7}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{2}{12}$$

کسر \frac{-2}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{6}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}-5x=1$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

-\frac{5}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{12} شود. سپس مجذور -\frac{5}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

-\frac{5}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{6} را به \frac{25}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

\frac{5}{12} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$