حل 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx-5 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 7 است.

$$a=-3 b=10$$

6x^{2}+7x-5 را به‌عنوان \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

در گروه اول از 3x و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-1=0 و 3x+5=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، 7 را با b و -5 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

-24 بار -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

49 را به 120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±13}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -7 را به 13 اضافه کنید.

$$x=\frac{6}{12}$$

کسر \frac{6}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-7±13}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از -7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{12}$$

کسر \frac{-20}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{5}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

5 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

تفریق -5 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

-5 را از 0 تفریق کنید.

$$6x^{2}+7x=5$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

\frac{7}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{7}{12} شود. سپس مجذور \frac{7}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

\frac{7}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{6} را به \frac{49}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

عامل x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

\frac{7}{12} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$