حل 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 6x^{2}+ax+bx+3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 18 است فهرست کنید.

$$1,18 2,9 3,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 11 است.

$$a=2 b=9$$

6x^{2}+11x+3 را به‌عنوان \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x+1=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 6 را با a، 11 را با b و 3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

-4 بار 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

-24 بار 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

121 را به -72 اضافه کنید.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

2 بار 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±7}{12} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -11 را به 7 اضافه کنید.

$$x=-\frac{4}{12}$$

کسر \frac{-4}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{-11±7}{12} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از -11 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{12}$$

کسر \frac{-18}{12} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

3 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

تفریق 3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$6x^{2}+11x=-3$$

هر دو طرف بر 6 تقسیم شوند.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

تقسیم بر 6، ضرب در 6 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

کسر \frac{-3}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

\frac{11}{6}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{11}{12} شود. سپس مجذور \frac{11}{12} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

\frac{11}{12} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{2} را به \frac{121}{144} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

عامل x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

\frac{11}{12} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$