حل 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3.74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5.74341649$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

1+x و 1+x را برای دستیابی به \left(1+x\right)^{2} ضرب کنید.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(1+x\right)^{2} استفاده کنید.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

از اموال توزیعی برای ضرب 54 در 1+2x+x^{2} استفاده کنید.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

1215 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

تفریق 1215 را از 54 برای به دست آوردن -1161 تفریق کنید.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 54 را با a، 108 را با b و -1161 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

108 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-4 بار 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

-216 بار -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

11664 را به 250776 اضافه کنید.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

ریشه دوم 262440 را به دست آورید.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

2 بار 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

اکنون معادله x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -108 را به 162\sqrt{10} اضافه کنید.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108+162\sqrt{10} را بر 108 تقسیم کنید.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

اکنون معادله x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} وقتی که ± منفی است حل کنید. 162\sqrt{10} را از -108 تفریق کنید.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

-108-162\sqrt{10} را بر 108 تقسیم کنید.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

1+x و 1+x را برای دستیابی به \left(1+x\right)^{2} ضرب کنید.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(1+x\right)^{2} استفاده کنید.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

از اموال توزیعی برای ضرب 54 در 1+2x+x^{2} استفاده کنید.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

54 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

تفریق 54 را از 1215 برای به دست آوردن 1161 تفریق کنید.

$$108x+54x^{2}=1161$$

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$54x^{2}+108x=1161$$

هر دو طرف بر 54 تقسیم شوند.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

تقسیم بر 54، ضرب در 54 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

108 را بر 54 تقسیم کنید.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

کسر \frac{1161}{54} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 27، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

2، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 1 شود. سپس مجذور 1 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

1 را مجذور کنید.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

\frac{43}{2} را به 1 اضافه کنید.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

عامل x^{2}+2x+1. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

ساده کنید.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$