حل 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

24 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -120 است فهرست کنید.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-15 b=8$$

5x^{2}-7x-24 را به‌عنوان \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 8 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 5x+8=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-7x=24$$

24 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

تفریق 24 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -7 را با b و -24 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

49 را به 480 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 529 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{7±23}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 23 اضافه کنید.

$$x=\frac{30}{10}$$

30 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{7±23}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 23 را از 7 تفریق کنید.

$$x=-\frac{16}{10}$$

کسر \frac{-16}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{8}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-7x=24$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

-\frac{7}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{10} شود. سپس مجذور -\frac{7}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

-\frac{7}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{24}{5} را به \frac{49}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

\frac{7}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$