حل 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -10 است فهرست کنید.

$$1,-10 2,-5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=-5 b=2$$

5x^{2}-3x-2 را به‌عنوان \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 5x+2=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -3 را با b و -2 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

9 را به 40 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 49 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{3±7}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به 7 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{3±7}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 7 را از 3 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{10}$$

کسر \frac{-4}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{2}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

2 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

تفریق -2 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

-2 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-3x=2$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

-\frac{3}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{10} شود. سپس مجذور -\frac{3}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

-\frac{3}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2}{5} را به \frac{9}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

عامل x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

\frac{3}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$