حل 5x^2-24x-68=0

$$5 x ^ { 2 } - 24 x - 68 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-2$$

$$x = \frac{34}{5} = 6\frac{4}{5} = 6.8$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-68 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-24 ab=5\left(-68\right)=-340$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -340 است فهرست کنید.

$$1,-340 2,-170 4,-85 5,-68 10,-34 17,-20$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-340=-339 2-170=-168 4-85=-81 5-68=-63 10-34=-24 17-20=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -24 است.

$$a=-34 b=10$$

5x^{2}-24x-68 را به‌عنوان \left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-34x\right)+\left(10x-68\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 2 فاکتور بگیرید.

$$x\left(5x-34\right)+2\left(5x-34\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x-34 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x-34\right)\left(x+2\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x-34=0 و x+2=0 را حل کنید.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -24 را با b و -68 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-24 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 5\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-20\left(-68\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -68.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1360}}{2\times 5}$$

576 را به 1360 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1936}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 1936 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±44}{2\times 5}$$

متضاد -24 عبارت است از 24.

$$x=\frac{24±44}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{24±44}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{24±44}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 24 را به 44 اضافه کنید.

$$x=\frac{68}{10}$$

کسر \frac{68}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{34}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{24±44}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 44 را از 24 تفریق کنید.

$$x=-\frac{20}{10}$$

-20 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-2$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-24x-68=0$$

68 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-24x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

تفریق -68 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-24x=-\left(-68\right)$$

-68 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-24x=68$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-24x}{5}=\frac{68}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x=\frac{68}{5}$$

-\frac{24}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{12}{5} شود. سپس مجذور -\frac{12}{5} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{68}{5}+\left(-\frac{12}{5}\right)^{2}$$

-\frac{12}{5} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{68}{5}+\frac{144}{25}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{68}{5} را به \frac{144}{25} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}=\frac{484}{25}$$

عامل x^{2}-\frac{24}{5}x+\frac{144}{25}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{12}{5}=\frac{22}{5} x-\frac{12}{5}=-\frac{22}{5}$$

\frac{12}{5} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{34}{5} x=-2$$