حل 5x^2-14x-24

$$5 x ^ { 2 } - 14 x - 24$$

عامل

$$\left(x-4\right)\left(5x+6\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-24 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-14 ab=5\left(-24\right)=-120$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -120 است فهرست کنید.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

جواب زوجی است که مجموع آن -14 است.

$$a=-20 b=6$$

5x^{2}-14x-24 را به‌عنوان \left(5x^{2}-20x\right)+\left(6x-24\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-20x\right)+\left(6x-24\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-4\right)+6\left(x-4\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-4 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-4\right)\left(5x+6\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$5x^{2}-14x-24=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -24.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 5}$$

196 را به 480 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 676 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 5}$$

متضاد -14 عبارت است از 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{14±26}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{14±26}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 14 را به 26 اضافه کنید.

$$x=\frac{40}{10}$$

40 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=4$$

اکنون معادله x=\frac{14±26}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 26 را از 14 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{10}$$

کسر \frac{-12}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{6}{5}$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. 4 را برای x_{1} و -\frac{6}{5} را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$5x^{2}-14x-24=5\left(x-4\right)\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$5x^{2}-14x-24=5\left(x-4\right)\left(x+\frac{6}{5}\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{6}{5} را به x اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$5x^{2}-14x-24=5\left(x-4\right)\times \frac{5x+6}{5}$$

بزرگترین عامل مشترک را از5 در 5 و 5 کم کنید.

$$5x^{2}-14x-24=\left(x-4\right)\left(5x+6\right)$$

ارزیابی

$$\left(x-4\right)\left(5x+6\right)$$