حل 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-15$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x^{2}+14x-15=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -15 است فهرست کنید.

$$-1,15 -3,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 14 است.

$$a=-1 b=15$$

x^{2}+14x-15 را به‌عنوان \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و x+15=0 را حل کنید.

$$x=1 x=-15$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 70 را با b و -75 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

70 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

4900 را به 1500 اضافه کنید.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 6400 را به دست آورید.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-70±80}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -70 را به 80 اضافه کنید.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{-70±80}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 80 را از -70 تفریق کنید.

$$x=-\frac{150}{10}$$

-150 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-15$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=-15$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

75 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

تفریق -75 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

-75 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}+70x=75$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

70 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

75 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+14x=15$$

14، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 7 شود. سپس مجذور 7 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

7 را مجذور کنید.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

15 را به 49 اضافه کنید.

$$x^{2}+14x+49=64$$

عامل x^{2}+14x+49. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

ساده کنید.

$$x+7=8 x+7=-8$$

7 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=1 x=-15$$