حل 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-6$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$x^{2}+12x+36=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx+36 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 36 است فهرست کنید.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

جواب زوجی است که مجموع آن 12 است.

$$a=6 b=6$$

x^{2}+12x+36 را به‌عنوان \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x+6 فاکتور بگیرید.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، x+6=0 را حل کنید.

$$x=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 60 را با b و 180 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

60 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

-20 بار 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

3600 را به -3600 اضافه کنید.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

-60 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

180 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

تفریق 180 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}+60x=-180$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

60 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

-180 را بر 5 تقسیم کنید.

$$x^{2}+12x=-36$$

12، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 6 شود. سپس مجذور 6 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

6 را مجذور کنید.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

-36 را به 36 اضافه کنید.

$$x^{2}+12x+36=0$$

عامل x^{2}+12x+36. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$x+6=0 x+6=0$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-6 x=-6$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$x=-6$$