حل 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 3 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

9 را به -20 اضافه کنید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

ریشه دوم -11 را به دست آورید.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -3 را به i\sqrt{11} اضافه کنید.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{11} را از -3 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}+3x=-1$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

\frac{3}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{3}{10} شود. سپس مجذور \frac{3}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

\frac{3}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{5} را به \frac{9}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

عامل x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

\frac{3}{10} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$