حل 5x^2+21x=-10x-6

$$5 x ^ { 2 } + 21 x = - 10 x - 6$$

برای x حل کنید

$$x=-6$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

21x و 10x را برای به دست آوردن 31x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+31x=-6$$

6 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx+6 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=31 ab=5\times 6=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

جواب زوجی است که مجموع آن 31 است.

$$a=1 b=30$$

5x^{2}+31x+6 را به‌عنوان \left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(30x+6\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(5x+1\right)+6\left(5x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x+1\right)\left(x+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x+1=0 و x+6=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

21x و 10x را برای به دست آوردن 31x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+31x=-6$$

6 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+31x+6=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 31 را با b و 6 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

31 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 5\times 6}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-20\times 6}}{2\times 5}$$

-20 بار 6.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-120}}{2\times 5}$$

961 را به -120 اضافه کنید.

$$x=\frac{-31±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 841 را به دست آورید.

$$x=\frac{-31±29}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-31±29}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-31±29}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -31 را به 29 اضافه کنید.

$$x=-\frac{2}{10}$$

کسر \frac{-2}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-31±29}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 29 را از -31 تفریق کنید.

$$x=-\frac{60}{10}$$

-60 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

10x را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$5x^{2}+21x+10x=-6$$

21x و 10x را برای به دست آوردن 31x ترکیب کنید.

$$5x^{2}+31x=-6$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+31x}{5}=-\frac{6}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x=-\frac{6}{5}$$

\frac{31}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{31}{10} شود. سپس مجذور \frac{31}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}=-\frac{6}{5}+\left(\frac{31}{10}\right)^{2}$$

\frac{31}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=-\frac{6}{5}+\frac{961}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{6}{5} را به \frac{961}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}=\frac{841}{100}$$

عامل x^{2}+\frac{31}{5}x+\frac{961}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}=\frac{841}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{100}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{31}{10}=\frac{29}{10} x+\frac{31}{10}=-\frac{29}{10}$$

\frac{31}{10} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{5} x=-6$$