حل 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx+4 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 20 است فهرست کنید.

$$1,20 2,10 4,5$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

جواب زوجی است که مجموع آن 21 است.

$$a=1 b=20$$

5x^{2}+21x+4 را به‌عنوان \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 5x+1 فاکتور بگیرید.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 5x+1=0 و x+4=0 را حل کنید.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، 21 را با b و 4 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

21 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

-20 بار 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

441 را به -80 اضافه کنید.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{-21±19}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -21 را به 19 اضافه کنید.

$$x=-\frac{2}{10}$$

کسر \frac{-2}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{5}$$

اکنون معادله x=\frac{-21±19}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از -21 تفریق کنید.

$$x=-\frac{40}{10}$$

-40 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=-4$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

تفریق 4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}+21x=-4$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

\frac{21}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{21}{10} شود. سپس مجذور \frac{21}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

\frac{21}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{4}{5} را به \frac{441}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

عامل x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

\frac{21}{10} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$