حل 5r^2=11r+12

$$5 r ^ { 2 } = 11 r + 12$$

برای r حل کنید

$$r=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$r=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

11r را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5r^{2}-11r=12$$

12 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5r^{2}+ar+br-12 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=5\left(-12\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-15 b=4$$

5r^{2}-11r-12 را به‌عنوان \left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5r^{2}-15r\right)+\left(4r-12\right)$$

در گروه اول از 5r و در گروه دوم از 4 فاکتور بگیرید.

$$5r\left(r-3\right)+4\left(r-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک r-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(r-3\right)\left(5r+4\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، r-3=0 و 5r+4=0 را حل کنید.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

11r را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5r^{2}-11r=12$$

12 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5r^{2}-11r-12=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -11 را با b و -12 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-11 را مجذور کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -12.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 5}$$

121 را به 240 اضافه کنید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 361 را به دست آورید.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 5}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$r=\frac{11±19}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$r=\frac{11±19}{10}$$

اکنون معادله r=\frac{11±19}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 19 اضافه کنید.

$$r=\frac{30}{10}$$

30 را بر 10 تقسیم کنید.

$$r=3$$

اکنون معادله r=\frac{11±19}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 19 را از 11 تفریق کنید.

$$r=-\frac{8}{10}$$

کسر \frac{-8}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$r=-\frac{4}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

11r را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$5r^{2}-11r=12$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5r^{2}-11r}{5}=\frac{12}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r=\frac{12}{5}$$

-\frac{11}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{10} شود. سپس مجذور -\frac{11}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{11}{10}\right)^{2}$$

-\frac{11}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{12}{5}+\frac{121}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{12}{5} را به \frac{121}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}=\frac{361}{100}$$

عامل r^{2}-\frac{11}{5}r+\frac{121}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

ساده کنید.

$$r-\frac{11}{10}=\frac{19}{10} r-\frac{11}{10}=-\frac{19}{10}$$

\frac{11}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$r=3 r=-\frac{4}{5}$$