حل 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17.378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0.621455974$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -90 را با b و 54 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-90 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

-20 بار 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

8100 را به -1080 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 7020 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

متضاد -90 عبارت است از 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

اکنون معادله y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 90 را به 6\sqrt{195} اضافه کنید.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

90+6\sqrt{195} را بر 10 تقسیم کنید.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

اکنون معادله y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6\sqrt{195} را از 90 تفریق کنید.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

90-6\sqrt{195} را بر 10 تقسیم کنید.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

54 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

تفریق 54 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5y^{2}-90y=-54$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

-90 را بر 5 تقسیم کنید.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

-18، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -9 شود. سپس مجذور -9 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

-9 را مجذور کنید.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

-\frac{54}{5} را به 81 اضافه کنید.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

عامل y^{2}-18y+81. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

ساده کنید.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$