حل 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-2184 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -10920 است فهرست کنید.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -1 است.

$$a=-105 b=104$$

5x^{2}-x-2184 را به‌عنوان \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 104 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-21 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-21=0 و 5x+104=0 را حل کنید.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -1 را با b و -2184 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

1 را به 43680 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 43681 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

متضاد -1 عبارت است از 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{1±209}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 1 را به 209 اضافه کنید.

$$x=\frac{210}{10}$$

210 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=21$$

اکنون معادله x=\frac{1±209}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 209 را از 1 تفریق کنید.

$$x=-\frac{208}{10}$$

کسر \frac{-208}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{104}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

2184 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

تفریق -2184 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

-2184 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-x=2184$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

-\frac{1}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{10} شود. سپس مجذور -\frac{1}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

-\frac{1}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{2184}{5} را به \frac{1}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

عامل x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

\frac{1}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$