حل 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 5x^{2}+ax+bx-42 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -210 است فهرست کنید.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -29 است.

$$a=-35 b=6$$

5x^{2}-29x-42 را به‌عنوان \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right) بازنویسی کنید.

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

در گروه اول از 5x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-7=0 و 5x+6=0 را حل کنید.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 5 را با a، -29 را با b و -42 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-29 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-4 بار 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

-20 بار -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

841 را به 840 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

ریشه دوم 1681 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

متضاد -29 عبارت است از 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

2 بار 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

اکنون معادله x=\frac{29±41}{10} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 29 را به 41 اضافه کنید.

$$x=\frac{70}{10}$$

70 را بر 10 تقسیم کنید.

$$x=7$$

اکنون معادله x=\frac{29±41}{10} وقتی که ± منفی است حل کنید. 41 را از 29 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{10}$$

کسر \frac{-12}{10} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{6}{5}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

42 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

تفریق -42 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

-42 را از 0 تفریق کنید.

$$5x^{2}-29x=42$$

هر دو طرف بر 5 تقسیم شوند.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

تقسیم بر 5، ضرب در 5 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

-\frac{29}{5}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{29}{10} شود. سپس مجذور -\frac{29}{10} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

-\frac{29}{10} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{42}{5} را به \frac{841}{100} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

عامل x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

\frac{29}{10} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$