حل 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 42x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -126 است فهرست کنید.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-14 b=9$$

42x^{2}-5x-3 را به‌عنوان \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

در گروه اول از 14x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 3x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 3x-1=0 و 14x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 42 را با a، -5 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-4 بار 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

-168 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

25 را به 504 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

ریشه دوم 529 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

2 بار 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

اکنون معادله x=\frac{5±23}{84} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 23 اضافه کنید.

$$x=\frac{28}{84}$$

کسر \frac{28}{84} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 28، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{3}$$

اکنون معادله x=\frac{5±23}{84} وقتی که ± منفی است حل کنید. 23 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{18}{84}$$

کسر \frac{-18}{84} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{14}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$42x^{2}-5x=3$$

هر دو طرف بر 42 تقسیم شوند.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

تقسیم بر 42، ضرب در 42 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

کسر \frac{3}{42} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

-\frac{5}{42}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{84} شود. سپس مجذور -\frac{5}{84} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

-\frac{5}{84} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{14} را به \frac{25}{7056} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

\frac{5}{84} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$