حل 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{10}=0.1$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 40x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 40 است فهرست کنید.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

جواب زوجی است که مجموع آن -14 است.

$$a=-10 b=-4$$

40x^{2}-14x+1 را به‌عنوان \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

در گروه اول از 10x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4x-1=0 و 10x-1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 40 را با a، -14 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

-14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

-4 بار 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

196 را به -160 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

ریشه دوم 36 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

متضاد -14 عبارت است از 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

2 بار 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

اکنون معادله x=\frac{14±6}{80} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 14 را به 6 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{80}$$

کسر \frac{20}{80} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 20، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{14±6}{80} وقتی که ± منفی است حل کنید. 6 را از 14 تفریق کنید.

$$x=\frac{8}{80}$$

کسر \frac{8}{80} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 8، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{10}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$40x^{2}-14x=-1$$

هر دو طرف بر 40 تقسیم شوند.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

تقسیم بر 40، ضرب در 40 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

کسر \frac{-14}{40} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

-\frac{7}{20}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{40} شود. سپس مجذور -\frac{7}{40} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

-\frac{7}{40} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{40} را به \frac{49}{1600} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

\frac{7}{40} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$