حل 4x^3-70x^2+300x-375=0

$$4 x ^ { 3 } - 70 x ^ { 2 } + 300 x - 375 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{15 - 5 \sqrt{3}}{2} \approx 3.169872981$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$x = \frac{5 \sqrt{3} + 15}{2} \approx 11.830127019$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -375 و q به عامل پیشگام 4 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{375}{4},±\frac{375}{2},±375,±\frac{125}{4},±\frac{125}{2},±125,±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=\frac{5}{2}$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 4x^{3}-70x^{2}+300x-375 را بر 2\left(x-\frac{5}{2}\right)=2x-5 برای به دست آوردن 2x^{2}-30x+75 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$2x^{2}-30x+75=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 2 را با a، -30 را با b، و 75 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 2\times 75}}{2\times 2}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{30±10\sqrt{3}}{4}$$

معادله 2x^{2}-30x+75=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=\frac{15-5\sqrt{3}}{2} x=\frac{5\sqrt{3}+15}{2}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{15-5\sqrt{3}}{2} x=\frac{5\sqrt{3}+15}{2}$$