حل 4x^3-100x^2+3x-75=0

$$4 x ^ { 3 } - 100 x ^ { 2 } + 3 x - 75 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{3}i}{2}\approx 0.866025404i$$

$$x=25$$

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\approx -0-0.866025404i$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -75 و q به عامل پیشگام 4 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=25$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 4x^{3}-100x^{2}+3x-75 را بر x-25 برای به دست آوردن 4x^{2}+3 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$4x^{2}+3=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، 0 را با b، و 3 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{8}$$

معادله 4x^{2}+3=0 را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$x=-\frac{\sqrt{3}i}{2} x=\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=25 x=-\frac{\sqrt{3}i}{2} x=\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

برای x حل کنید

$$x=25$$

مراحل راه‌حل

بر اساس قضیه ریشه گویا، تمام ریشه‌های گویای یک چندجمله‌ای به شکل \frac{p}{q} هستند، که در آن p به عبارت ثابت -75 و q به عامل پیشگام 4 تقسیم می‌شود. لیست همه نامزدهای \frac{p}{q}.

$$±\frac{75}{4},±\frac{75}{2},±75,±\frac{25}{4},±\frac{25}{2},±25,±\frac{15}{4},±\frac{15}{2},±15,±\frac{5}{4},±\frac{5}{2},±5,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

با امتحان کردن تمام مقادیر صحیح، از کوچکترین قدر مطلق، یک ریشه این چنینی را پیدا کنید. اگر هیچ ریشه صحیحی یافت نشد، کسر را امتحان کنید.

$$x=25$$

بر اساس قضیه عامل‌ها، x-k مضروب چندجمله‌ای برای هر ریشه k است. 4x^{3}-100x^{2}+3x-75 را بر x-25 برای به دست آوردن 4x^{2}+3 تقسیم کنید. معادله را حل کنید به‌طوری‌که در آن نتیجه مساوی 0 باشد.

$$4x^{2}+3=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 4 را با a، 0 را با b، و 3 را با c جایگزین کنید.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$x=\frac{0±\sqrt{-48}}{8}$$

از آنجایی که جذر عدد منفی در عدد حقیقی تعریف نشده است، هیچ راه‌حلی وجود ندارد.

$$x\in \emptyset$$

تمام جواب‌های یافت‌شده را فهرست کنید.

$$x=25$$