حل 4x^2-9x-9=0

$$4 x ^ { 2 } - 9 x - 9 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=3$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-9 ab=4\left(-9\right)=-36$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -36 است فهرست کنید.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن -9 است.

$$a=-12 b=3$$

4x^{2}-9x-9 را به‌عنوان \left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(3x-9\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-3\right)\left(4x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-3=0 و 4x+3=0 را حل کنید.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -9 را با b و -9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-9 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+144}}{2\times 4}$$

81 را به 144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±15}{2\times 4}$$

متضاد -9 عبارت است از 9.

$$x=\frac{9±15}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{9±15}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{9±15}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 9 را به 15 اضافه کنید.

$$x=\frac{24}{8}$$

24 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=3$$

اکنون معادله x=\frac{9±15}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از 9 تفریق کنید.

$$x=-\frac{6}{8}$$

کسر \frac{-6}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-9x-9=0$$

9 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

تفریق -9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-9x=-\left(-9\right)$$

-9 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-9x=9$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-9x}{4}=\frac{9}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}$$

-\frac{9}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{9}{8} شود. سپس مجذور -\frac{9}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

-\frac{9}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{9}{4}+\frac{81}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{9}{4} را به \frac{81}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}=\frac{225}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{9}{4}x+\frac{81}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{9}{8}=\frac{15}{8} x-\frac{9}{8}=-\frac{15}{8}$$

\frac{9}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=3 x=-\frac{3}{4}$$