حل 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1.882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0.132782219$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -7 را با b و -1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-7 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

49 را به 16 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به \sqrt{65} اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{7±\sqrt{65}}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. \sqrt{65} را از 7 تفریق کنید.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

1 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

تفریق -1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

-1 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-7x=1$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

-\frac{7}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{8} شود. سپس مجذور -\frac{7}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1}{4} را به \frac{49}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

\frac{7}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$