حل 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x=1$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx+1 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 4 است فهرست کنید.

$$-1,-4 -2,-2$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-4 b=-1$$

4x^{2}-5x+1 را به‌عنوان \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

در گروه اول از 4x و در گروه دوم از -1 فاکتور بگیرید.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-1 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-1=0 و 4x-1=0 را حل کنید.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -5 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

25 را به -16 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 9 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{5±3}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 3 اضافه کنید.

$$x=\frac{8}{8}$$

8 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=1$$

اکنون معادله x=\frac{5±3}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 3 را از 5 تفریق کنید.

$$x=\frac{2}{8}$$

کسر \frac{2}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{1}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-5x=-1$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

-\frac{5}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{8} شود. سپس مجذور -\frac{5}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{4} را به \frac{25}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

\frac{5}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$