حل 4x^2-4x-3=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x - 3 = 0$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-3 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -12 است فهرست کنید.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

جواب زوجی است که مجموع آن -4 است.

$$a=-6 b=2$$

4x^{2}-4x-3 را به‌عنوان \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

از 2x در 4x^{2}-6x فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و 2x+1=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -4 را با b و -3 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

16 را به 48 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 64 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{4±8}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 8 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{8}$$

کسر \frac{12}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{4±8}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8 را از 4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{4}{8}$$

کسر \frac{-4}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

3 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

تفریق -3 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

-3 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-4x=3$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{3}{4} را به \frac{1}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

عامل x^{2}-x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$