حل 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1.75+0.433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1.75-0.433012702i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -14 را با b و 13 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

-14 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

-16 بار 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

196 را به -208 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

ریشه دوم -12 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

متضاد -14 عبارت است از 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 14 را به 2i\sqrt{3} اضافه کنید.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

14+2i\sqrt{3} را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 2i\sqrt{3} را از 14 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

14-2i\sqrt{3} را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

13 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

تفریق 13 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-14x=-13$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

-\frac{7}{2}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{4} شود. سپس مجذور -\frac{7}{4} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

-\frac{7}{4} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{13}{4} را به \frac{49}{16} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

عامل x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

\frac{7}{4} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$