حل 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-27 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -108 است فهرست کنید.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -12 است.

$$a=-18 b=6$$

4x^{2}-12x-27 را به‌عنوان \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-9 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-9=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -12 را با b و -27 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-12 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

144 را به 432 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 576 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

متضاد -12 عبارت است از 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{12±24}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 12 را به 24 اضافه کنید.

$$x=\frac{36}{8}$$

کسر \frac{36}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{9}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{12±24}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 24 را از 12 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{8}$$

کسر \frac{-12}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

27 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

تفریق -27 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

-27 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-12x=27$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

-3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{2} شود. سپس مجذور -\frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{27}{4} را به \frac{9}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

عامل x^{2}-3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

\frac{3}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$