حل 4x^2-12x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx+9 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-12 ab=4\times 9=36$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 36 است فهرست کنید.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

جواب زوجی است که مجموع آن -12 است.

$$a=-6 b=-6$$

4x^{2}-12x+9 را به‌عنوان \left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(-6x+9\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از -3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-3\right)-3\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(2x-3\right)$$

به عنوان یک مربع دو جمله‌ای بازنویسی کنید.

$$\left(2x-3\right)^{2}$$

برای پیدا کردن جواب معادله، 2x-3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -12 را با b و 9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-12 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 بار 9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 4}$$

144 را به -144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 0 را به دست آورید.

$$x=-\frac{-12}{2\times 4}$$

متضاد -12 عبارت است از 12.

$$x=\frac{12}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{12}{8}$$

کسر \frac{12}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-12x+9=0$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}-12x+9-9=-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-12x=-9$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=-\frac{9}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

-12 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

-3، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{2} شود. سپس مجذور -\frac{3}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{9}{4} را به \frac{9}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

عامل x^{2}-3x+\frac{9}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

\frac{3}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است. راهکارها مشابه هستند.

$$x=\frac{3}{2}$$