حل 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1.375+1.268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1.375-1.268611446i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

16 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

تفریق 16 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

16 را از 30 تفریق کنید.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -11 را با b و 14 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-11 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

-16 بار 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

121 را به -224 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

ریشه دوم -103 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به i\sqrt{103} اضافه کنید.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{103} را از 11 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

30 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

تفریق 30 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

30 را از 16 تفریق کنید.

$$4x^{2}-11x=-14$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

کسر \frac{-14}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

-\frac{11}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{8} شود. سپس مجذور -\frac{11}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

-\frac{11}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{7}{2} را به \frac{121}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

\frac{11}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$