حل 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13.5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-81 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -324 است فهرست کنید.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

جواب زوجی است که مجموع آن 48 است.

$$a=-6 b=54$$

4x^{2}+48x-81 را به‌عنوان \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 27 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-3 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-3=0 و 2x+27=0 را حل کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 48 را با b و -81 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

48 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

2304 را به 1296 اضافه کنید.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 3600 را به دست آورید.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-48±60}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -48 را به 60 اضافه کنید.

$$x=\frac{12}{8}$$

کسر \frac{12}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{3}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-48±60}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 60 را از -48 تفریق کنید.

$$x=-\frac{108}{8}$$

کسر \frac{-108}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{27}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

81 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

تفریق -81 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

-81 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}+48x=81$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

48 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

12، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 6 شود. سپس مجذور 6 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

6 را مجذور کنید.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

\frac{81}{4} را به 36 اضافه کنید.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

عامل x^{2}+12x+36. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

6 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$