حل 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 4 را با b و 9 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

-16 بار 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

16 را به -144 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

ریشه دوم -128 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 8i\sqrt{2} اضافه کنید.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

-4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

اکنون معادله x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 8i\sqrt{2} را از -4 تفریق کنید.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

-4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

9 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

تفریق 9 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}+4x=-9$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{9}{4} را به \frac{1}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

عامل x^{2}+x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$