حل 4x^2+17x-42

$$4 x ^ { 2 } + 17 x - 42$$

عامل

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

مراحل راه‌حل

با گروه‌بندی عبارت، از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، عبارت باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-42 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=17 ab=4\left(-42\right)=-168$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -168 است فهرست کنید.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

جواب زوجی است که مجموع آن 17 است.

$$a=-7 b=24$$

4x^{2}+17x-42 را به‌عنوان \left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(24x-42\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(4x-7\right)+6\left(4x-7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-7 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

چند جمله‌ای درجه دوم را می‌توان با استفاده از تبدیل ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور گرفت، به طوری که x_{1} و x_{2} راه حل معادله درجه دوم ax^{2}+bx+c=0 است.

$$4x^{2}+17x-42=0$$

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

17 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 4\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-16\left(-42\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -42.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+672}}{2\times 4}$$

289 را به 672 اضافه کنید.

$$x=\frac{-17±\sqrt{961}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 961 را به دست آورید.

$$x=\frac{-17±31}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-17±31}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±31}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -17 را به 31 اضافه کنید.

$$x=\frac{14}{8}$$

کسر \frac{14}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{7}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{-17±31}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 31 را از -17 تفریق کنید.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

عبارت اصلی را با استفاده از ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) فاکتور بگیرید. \frac{7}{4} را برای x_{1} و -6 را برای x_{2} جایگزین کنید.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

همه عبارت‌های فرم p-\left(-q\right) را به p+q ساده کنید.

$$4x^{2}+17x-42=4\left(x-\frac{7}{4}\right)\left(x+6\right)$$

با یافتن یک مخرج مشترک و تفریق صورت‌های کسر، \frac{7}{4} را از x تفریق کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$4x^{2}+17x-42=4\times \frac{4x-7}{4}\left(x+6\right)$$

بزرگترین عامل مشترک را از4 در 4 و 4 کم کنید.

$$4x^{2}+17x-42=\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$

ارزیابی

$$\left(4x-7\right)\left(x+6\right)$$