حل 4t^2-43t-11=0

$$4 t ^ { 2 } - 43 t - 11 = 0$$

برای t حل کنید

$$t=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$t=11$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4t^{2}+at+bt-11 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-43 ab=4\left(-11\right)=-44$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -44 است فهرست کنید.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

جواب زوجی است که مجموع آن -43 است.

$$a=-44 b=1$$

4t^{2}-43t-11 را به‌عنوان \left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4t^{2}-44t\right)+\left(t-11\right)$$

از 4t در 4t^{2}-44t فاکتور بگیرید.

$$4t\left(t-11\right)+t-11$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک t-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(t-11\right)\left(4t+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، t-11=0 و 4t+1=0 را حل کنید.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -43 را با b و -11 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{\left(-43\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-43 را مجذور کنید.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -11.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{1849+176}}{2\times 4}$$

1849 را به 176 اضافه کنید.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±\sqrt{2025}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 2025 را به دست آورید.

$$t=\frac{-\left(-43\right)±45}{2\times 4}$$

متضاد -43 عبارت است از 43.

$$t=\frac{43±45}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$t=\frac{43±45}{8}$$

اکنون معادله t=\frac{43±45}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 43 را به 45 اضافه کنید.

$$t=\frac{88}{8}$$

88 را بر 8 تقسیم کنید.

$$t=11$$

اکنون معادله t=\frac{43±45}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 45 را از 43 تفریق کنید.

$$t=-\frac{2}{8}$$

کسر \frac{-2}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$t=-\frac{1}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4t^{2}-43t-11=0$$

11 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4t^{2}-43t-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

تفریق -11 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4t^{2}-43t=-\left(-11\right)$$

-11 را از 0 تفریق کنید.

$$4t^{2}-43t=11$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4t^{2}-43t}{4}=\frac{11}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t=\frac{11}{4}$$

-\frac{43}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{43}{8} شود. سپس مجذور -\frac{43}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{43}{8}\right)^{2}$$

-\frac{43}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{11}{4}+\frac{1849}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{11}{4} را به \frac{1849}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}=\frac{2025}{64}$$

عامل t^{2}-\frac{43}{4}t+\frac{1849}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}=\frac{2025}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(t-\frac{43}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{64}}$$

ساده کنید.

$$t-\frac{43}{8}=\frac{45}{8} t-\frac{43}{8}=-\frac{45}{8}$$

\frac{43}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$t=11 t=-\frac{1}{4}$$