حل 4s^2+32s+63=0

$$4 s ^ { 2 } + 32 s + 63 = 0$$

برای s حل کنید

$$s = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$s = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4s^{2}+as+bs+63 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=32 ab=4\times 63=252$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b مثبت است، a و b هر دو مثبت هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 252 است فهرست کنید.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

جواب زوجی است که مجموع آن 32 است.

$$a=14 b=18$$

4s^{2}+32s+63 را به‌عنوان \left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4s^{2}+14s\right)+\left(18s+63\right)$$

در گروه اول از 2s و در گروه دوم از 9 فاکتور بگیرید.

$$2s\left(2s+7\right)+9\left(2s+7\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2s+7 فاکتور بگیرید.

$$\left(2s+7\right)\left(2s+9\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2s+7=0 و 2s+9=0 را حل کنید.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 32 را با b و 63 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$s=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

32 را مجذور کنید.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 4\times 63}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-16\times 63}}{2\times 4}$$

-16 بار 63.

$$s=\frac{-32±\sqrt{1024-1008}}{2\times 4}$$

1024 را به -1008 اضافه کنید.

$$s=\frac{-32±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 16 را به دست آورید.

$$s=\frac{-32±4}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$s=\frac{-32±4}{8}$$

اکنون معادله s=\frac{-32±4}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -32 را به 4 اضافه کنید.

$$s=-\frac{28}{8}$$

کسر \frac{-28}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$s=-\frac{7}{2}$$

اکنون معادله s=\frac{-32±4}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 4 را از -32 تفریق کنید.

$$s=-\frac{36}{8}$$

کسر \frac{-36}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$s=-\frac{9}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4s^{2}+32s+63=0$$

63 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4s^{2}+32s+63-63=-63$$

تفریق 63 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4s^{2}+32s=-63$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4s^{2}+32s}{4}=-\frac{63}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$s^{2}+\frac{32}{4}s=-\frac{63}{4}$$

32 را بر 4 تقسیم کنید.

$$s^{2}+8s=-\frac{63}{4}$$

8، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 4 شود. سپس مجذور 4 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$s^{2}+8s+4^{2}=-\frac{63}{4}+4^{2}$$

4 را مجذور کنید.

$$s^{2}+8s+16=-\frac{63}{4}+16$$

-\frac{63}{4} را به 16 اضافه کنید.

$$s^{2}+8s+16=\frac{1}{4}$$

عامل s^{2}+8s+16. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(s+4\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(s+4\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

ساده کنید.

$$s+4=\frac{1}{2} s+4=-\frac{1}{2}$$

4 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$s=-\frac{7}{2} s=-\frac{9}{2}$$