حل 4p^2-3p-10=0

$$4 p ^ { 2 } - 3 p - 10 = 0$$

برای p حل کنید

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4p^{2}+ap+bp-10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-3 ab=4\left(-10\right)=-40$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -40 است فهرست کنید.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

جواب زوجی است که مجموع آن -3 است.

$$a=-8 b=5$$

4p^{2}-3p-10 را به‌عنوان \left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4p^{2}-8p\right)+\left(5p-10\right)$$

در گروه اول از 4p و در گروه دوم از 5 فاکتور بگیرید.

$$4p\left(p-2\right)+5\left(p-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک p-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(p-2\right)\left(4p+5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، p-2=0 و 4p+5=0 را حل کنید.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -3 را با b و -10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-3 را مجذور کنید.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-10\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -10.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+160}}{2\times 4}$$

9 را به 160 اضافه کنید.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{169}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 169 را به دست آورید.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±13}{2\times 4}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$p=\frac{3±13}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$p=\frac{3±13}{8}$$

اکنون معادله p=\frac{3±13}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به 13 اضافه کنید.

$$p=\frac{16}{8}$$

16 را بر 8 تقسیم کنید.

$$p=2$$

اکنون معادله p=\frac{3±13}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 13 را از 3 تفریق کنید.

$$p=-\frac{10}{8}$$

کسر \frac{-10}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$p=-\frac{5}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4p^{2}-3p-10=0$$

10 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4p^{2}-3p-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

تفریق -10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4p^{2}-3p=-\left(-10\right)$$

-10 را از 0 تفریق کنید.

$$4p^{2}-3p=10$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4p^{2}-3p}{4}=\frac{10}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{10}{4}$$

کسر \frac{10}{4} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p=\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{8} شود. سپس مجذور -\frac{3}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

-\frac{3}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{5}{2}+\frac{9}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{5}{2} را به \frac{9}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}=\frac{169}{64}$$

عامل p^{2}-\frac{3}{4}p+\frac{9}{64}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

ساده کنید.

$$p-\frac{3}{8}=\frac{13}{8} p-\frac{3}{8}=-\frac{13}{8}$$

\frac{3}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$p=2 p=-\frac{5}{4}$$