حل 4p^2-25p+21=-4

$$4 p ^ { 2 } - 25 p + 21 = - 4$$

برای p حل کنید

$$p = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$p=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

4 را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$4p^{2}-25p+21+4=0$$

21 و 4 را برای دریافت 25 اضافه کنید.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4p^{2}+ap+bp+25 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-25 ab=4\times 25=100$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 100 است فهرست کنید.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

جواب زوجی است که مجموع آن -25 است.

$$a=-20 b=-5$$

4p^{2}-25p+25 را به‌عنوان \left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4p^{2}-20p\right)+\left(-5p+25\right)$$

در گروه اول از 4p و در گروه دوم از -5 فاکتور بگیرید.

$$4p\left(p-5\right)-5\left(p-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک p-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(p-5\right)\left(4p-5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، p-5=0 و 4p-5=0 را حل کنید.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

4 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

تفریق -4 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4p^{2}-25p+21-\left(-4\right)=0$$

-4 را از 21 تفریق کنید.

$$4p^{2}-25p+25=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -25 را با b و 25 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

-25 را مجذور کنید.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 4\times 25}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-16\times 25}}{2\times 4}$$

-16 بار 25.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-400}}{2\times 4}$$

625 را به -400 اضافه کنید.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$p=\frac{-\left(-25\right)±15}{2\times 4}$$

متضاد -25 عبارت است از 25.

$$p=\frac{25±15}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$p=\frac{25±15}{8}$$

اکنون معادله p=\frac{25±15}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 25 را به 15 اضافه کنید.

$$p=\frac{40}{8}$$

40 را بر 8 تقسیم کنید.

$$p=5$$

اکنون معادله p=\frac{25±15}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از 25 تفریق کنید.

$$p=\frac{10}{8}$$

کسر \frac{10}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$p=\frac{5}{4}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4p^{2}-25p+21=-4$$

21 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4p^{2}-25p+21-21=-4-21$$

تفریق 21 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4p^{2}-25p=-4-21$$

21 را از -4 تفریق کنید.

$$4p^{2}-25p=-25$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4p^{2}-25p}{4}=-\frac{25}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p=-\frac{25}{4}$$

-\frac{25}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{25}{8} شود. سپس مجذور -\frac{25}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}=-\frac{25}{4}+\left(-\frac{25}{8}\right)^{2}$$

-\frac{25}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=-\frac{25}{4}+\frac{625}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{25}{4} را به \frac{625}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}=\frac{225}{64}$$

عامل p^{2}-\frac{25}{4}p+\frac{625}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(p-\frac{25}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

ساده کنید.

$$p-\frac{25}{8}=\frac{15}{8} p-\frac{25}{8}=-\frac{15}{8}$$

\frac{25}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$p=5 p=\frac{5}{4}$$