حل 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

برای n حل کنید

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

11 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4n^{2}+an+bn-11 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -44 است فهرست کنید.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

جواب زوجی است که مجموع آن -7 است.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 را به‌عنوان \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

از n در 4n^{2}-11n فاکتور بگیرید.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4n-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4n-11=0 و n+1=0 را حل کنید.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4n^{2}-7n=11$$

11 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

تفریق 11 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -7 را با b و -11 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7 را مجذور کنید.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

49 را به 176 اضافه کنید.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 225 را به دست آورید.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

متضاد -7 عبارت است از 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

اکنون معادله n=\frac{7±15}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 7 را به 15 اضافه کنید.

$$n=\frac{22}{8}$$

کسر \frac{22}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$n=\frac{11}{4}$$

اکنون معادله n=\frac{7±15}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 15 را از 7 تفریق کنید.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8 را بر 8 تقسیم کنید.

$$n=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4n^{2}-7n=11$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

-\frac{7}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{7}{8} شود. سپس مجذور -\frac{7}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

-\frac{7}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{11}{4} را به \frac{49}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

عامل n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. در کل، هنگامی که x^{2}+bx+c یک مربع است، همیشه می‌تواند به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

ساده کنید.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

\frac{7}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$