حل 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2.716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2.716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x^{2}+1 استفاده کنید.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 4x^{2}+4 در 2x^{2}+1 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x^{2}-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در x^{4}-2x^{2}+1 استفاده کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

5x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

8x^{4} و -5x^{4} را برای به دست آوردن 3x^{4} ترکیب کنید.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

10x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

12x^{2} و 10x^{2} را برای به دست آوردن 22x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

تفریق 5 را از 4 برای به دست آوردن -1 تفریق کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 3 را با a، 22 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

معادله t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t به دست می‌آید.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

برای x حل کنید

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0.212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0.212547035$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x^{2}+1 استفاده کنید.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

از ویژگی توزیعی برای ضرب 4x^{2}+4 در 2x^{2}+1 استفاده و اصطلاحات مشابه را با هم یکی کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

از قضیه دو جمله‌ای \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} برای گسترش \left(x^{2}-1\right)^{2} استفاده کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

برای رساندن توان به یک توان دیگر، توان‌ها را ضرب کنید. 2 و 2 را برای رسیدن به 4 ضرب کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

از اموال توزیعی برای ضرب 5 در x^{4}-2x^{2}+1 استفاده کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

5x^{4} را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

8x^{4} و -5x^{4} را برای به دست آوردن 3x^{4} ترکیب کنید.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

10x^{2} را به هر دو طرف اضافه کنید.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

12x^{2} و 10x^{2} را برای به دست آوردن 22x^{2} ترکیب کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

5 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

تفریق 5 را از 4 برای به دست آوردن -1 تفریق کنید.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

t به جای x^{2} جایگزین شود.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

همه معادلات به شکل ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. در فرمول درجه دوم 3 را با a، 22 را با b، و -1 را با c جایگزین کنید.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

محاسبات را انجام دهید.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

معادله t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} را یک بار وقتی ± به‌علاوه است و یک بار وقتی ± منها است حل کنید.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

از آنجا که x=t^{2}، راه‌حل‌ها با ارزیابی x=±\sqrt{t} برای هر t مثبت به دست می‌آید.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$