حل 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x^{2}+2x+1 استفاده کنید.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

تفریق 169 را از 4 برای به دست آوردن -165 تفریق کنید.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-165 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -660 است فهرست کنید.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

جواب زوجی است که مجموع آن 8 است.

$$a=-22 b=30$$

4x^{2}+8x-165 را به‌عنوان \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 15 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-11 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-11=0 و 2x+15=0 را حل کنید.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x^{2}+2x+1 استفاده کنید.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

تفریق 169 را از 4 برای به دست آوردن -165 تفریق کنید.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 8 را با b و -165 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

8 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

64 را به 2640 اضافه کنید.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 2704 را به دست آورید.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±52}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -8 را به 52 اضافه کنید.

$$x=\frac{44}{8}$$

کسر \frac{44}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{11}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{-8±52}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 52 را از -8 تفریق کنید.

$$x=-\frac{60}{8}$$

کسر \frac{-60}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{15}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

از قضیه دو جمله‌ای \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} برای گسترش \left(x+1\right)^{2} استفاده کنید.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

از اموال توزیعی برای ضرب 4 در x^{2}+2x+1 استفاده کنید.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

تفریق 169 را از 4 برای به دست آوردن -165 تفریق کنید.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

165 را به هر دو طرف اضافه کنید. هر چیزی به علاوه صفر، می‌شود خودش.

$$4x^{2}+8x=165$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

8 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

2، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل 1 شود. سپس مجذور 1 را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

1 را مجذور کنید.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

\frac{165}{4} را به 1 اضافه کنید.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

عامل x^{2}+2x+1. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$