حل 4y^2-4y-8=0

$$4 { y }^{ 2 } -4y-8=0$$

برای y حل کنید

$$y=-1$$

$$y=2$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$y^{2}-y-2=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت y^{2}+ay+by-2 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تنها جواب دستگاه این زوج است.

$$a=-2 b=1$$

y^{2}-y-2 را به‌عنوان \left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right) بازنویسی کنید.

$$\left(y^{2}-2y\right)+\left(y-2\right)$$

از y در y^{2}-2y فاکتور بگیرید.

$$y\left(y-2\right)+y-2$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-2=0 و y+1=0 را حل کنید.

$$y=2 y=-1$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -4 را با b و -8 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-4 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -8.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+128}}{2\times 4}$$

16 را به 128 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 144 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-4\right)±12}{2\times 4}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$y=\frac{4±12}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$y=\frac{4±12}{8}$$

اکنون معادله y=\frac{4±12}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 12 اضافه کنید.

$$y=\frac{16}{8}$$

16 را بر 8 تقسیم کنید.

$$y=2$$

اکنون معادله y=\frac{4±12}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 12 را از 4 تفریق کنید.

$$y=-\frac{8}{8}$$

-8 را بر 8 تقسیم کنید.

$$y=-1$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=2 y=-1$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4y^{2}-4y-8=0$$

8 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4y^{2}-4y-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

تفریق -8 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4y^{2}-4y=-\left(-8\right)$$

-8 را از 0 تفریق کنید.

$$4y^{2}-4y=8$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4y^{2}-4y}{4}=\frac{8}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$y^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)y=\frac{8}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$y^{2}-y=\frac{8}{4}$$

8 را بر 4 تقسیم کنید.

$$y^{2}-y=2$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

2 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

عامل y^{2}-y+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=2 y=-1$$