حل 4x^2-5x-51=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x-51=0$$

برای x حل کنید

$$x=-3$$

$$x = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-51 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-5 ab=4\left(-51\right)=-204$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -204 است فهرست کنید.

$$1,-204 2,-102 3,-68 4,-51 6,-34 12,-17$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-204=-203 2-102=-100 3-68=-65 4-51=-47 6-34=-28 12-17=-5$$

جواب زوجی است که مجموع آن -5 است.

$$a=-17 b=12$$

4x^{2}-5x-51 را به‌عنوان \left(4x^{2}-17x\right)+\left(12x-51\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-17x\right)+\left(12x-51\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$x\left(4x-17\right)+3\left(4x-17\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 4x-17 فاکتور بگیرید.

$$\left(4x-17\right)\left(x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 4x-17=0 و x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{17}{4} x=-3$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-5x-51=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -5 را با b و -51 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-51\right)}}{2\times 4}$$

-5 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-51\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-51\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -51.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+816}}{2\times 4}$$

25 را به 816 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 841 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±29}{2\times 4}$$

متضاد -5 عبارت است از 5.

$$x=\frac{5±29}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{5±29}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{5±29}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 5 را به 29 اضافه کنید.

$$x=\frac{34}{8}$$

کسر \frac{34}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{17}{4}$$

اکنون معادله x=\frac{5±29}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 29 را از 5 تفریق کنید.

$$x=-\frac{24}{8}$$

-24 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-3$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{17}{4} x=-3$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-5x-51=0$$

51 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-5x-51-\left(-51\right)=-\left(-51\right)$$

تفریق -51 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-5x=-\left(-51\right)$$

-51 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-5x=51$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{51}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{51}{4}$$

-\frac{5}{4}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{5}{8} شود. سپس مجذور -\frac{5}{8} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{51}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

-\frac{5}{8} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{51}{4}+\frac{25}{64}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{51}{4} را به \frac{25}{64} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{841}{64}$$

عامل x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{841}{64}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{64}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{29}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{29}{8}$$

\frac{5}{8} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{17}{4} x=-3$$