حل 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 4x^{2}+ax+bx-15 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b منفی است، عدد منفی قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد مثبت دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -60 است فهرست کنید.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

جواب زوجی است که مجموع آن -4 است.

$$a=-10 b=6$$

4x^{2}-4x-15 را به‌عنوان \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) بازنویسی کنید.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

در گروه اول از 2x و در گروه دوم از 3 فاکتور بگیرید.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک 2x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، 2x-5=0 و 2x+3=0 را حل کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، -4 را با b و -15 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

16 را به 240 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 256 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

متضاد -4 عبارت است از 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{4±16}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 4 را به 16 اضافه کنید.

$$x=\frac{20}{8}$$

کسر \frac{20}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=\frac{5}{2}$$

اکنون معادله x=\frac{4±16}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 16 را از 4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{12}{8}$$

کسر \frac{-12}{8} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 4، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{3}{2}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

15 را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

تفریق -15 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

-15 را از 0 تفریق کنید.

$$4x^{2}-4x=15$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

-4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

-1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{1}{2} شود. سپس مجذور -\frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{15}{4} را به \frac{1}{4} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

عامل x^{2}-x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

\frac{1}{2} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$