حل 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

برای x حل کنید

$$x=-6$$

$$x=5$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

120 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$x^{2}+x-30=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت x^{2}+ax+bx-30 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -30 است فهرست کنید.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

جواب زوجی است که مجموع آن 1 است.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 را به‌عنوان \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) بازنویسی کنید.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

در گروه اول از x و در گروه دوم از 6 فاکتور بگیرید.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-5 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-5=0 و x+6=0 را حل کنید.

$$x=5 x=-6$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$4x^{2}+4x=120$$

120 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

تفریق 120 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 4 را با a، 4 را با b و -120 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-4 بار 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-16 بار -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

16 را به 1920 اضافه کنید.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

ریشه دوم 1936 را به دست آورید.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

2 بار 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

اکنون معادله x=\frac{-4±44}{8} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -4 را به 44 اضافه کنید.

$$x=\frac{40}{8}$$

40 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=5$$

اکنون معادله x=\frac{-4±44}{8} وقتی که ± منفی است حل کنید. 44 را از -4 تفریق کنید.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48 را بر 8 تقسیم کنید.

$$x=-6$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=5 x=-6$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$4x^{2}+4x=120$$

هر دو طرف بر 4 تقسیم شوند.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

تقسیم بر 4، ضرب در 4 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120 را بر 4 تقسیم کنید.

$$x^{2}+x=30$$

1، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{1}{2} شود. سپس مجذور \frac{1}{2} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

30 را به \frac{1}{4} اضافه کنید.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

عامل x^{2}+x+\frac{1}{4}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

\frac{1}{2} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=5 x=-6$$