حل 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

برای x حل کنید (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0.048387097+0.172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0.048387097-0.172964602i$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 31 را با a، -3 را با b و 1 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

-3 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

-4 بار 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

9 را به -124 اضافه کنید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

ریشه دوم -115 را به دست آورید.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

متضاد -3 عبارت است از 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

2 بار 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

اکنون معادله x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 3 را به i\sqrt{115} اضافه کنید.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

اکنون معادله x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} وقتی که ± منفی است حل کنید. i\sqrt{115} را از 3 تفریق کنید.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

1 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

تفریق 1 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$31x^{2}-3x=-1$$

هر دو طرف بر 31 تقسیم شوند.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

تقسیم بر 31، ضرب در 31 را لغو می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

-\frac{3}{31}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{3}{62} شود. سپس مجذور -\frac{3}{62} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

-\frac{3}{62} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{1}{31} را به \frac{9}{3844} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

عامل x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

ساده کنید.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

\frac{3}{62} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$