حل 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

برای x حل کنید

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

3384 را از هر دو طرف تفریق کنید.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

چندجمله‌ای را برای قرار دادن در قالب استاندارد، دوباره مرتب کنید. جملات را از بیشترین به کمترین قرار دهید.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 7x^{2}+ax+bx-1128 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

از آنجا که ab منفی است، a و b علامت مخالف هم دارند. از آنجا که a+b مثبت است، عدد مثبت قدر مطلق بزرگتری نسبت به عدد منفی دارد. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان -7896 است فهرست کنید.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

جواب زوجی است که مجموع آن 10 است.

$$a=-84 b=94$$

7x^{2}+10x-1128 را به‌عنوان \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right) بازنویسی کنید.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

در گروه اول از 7x و در گروه دوم از 94 فاکتور بگیرید.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک x-12 فاکتور بگیرید.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، x-12=0 و 7x+94=0 را حل کنید.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$21x^{2}+30x=3384$$

3384 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

تفریق 3384 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 21 را با a، 30 را با b و -3384 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

30 را مجذور کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-4 بار 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

-84 بار -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

900 را به 284256 اضافه کنید.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

ریشه دوم 285156 را به دست آورید.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

2 بار 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

اکنون معادله x=\frac{-30±534}{42} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. -30 را به 534 اضافه کنید.

$$x=\frac{504}{42}$$

504 را بر 42 تقسیم کنید.

$$x=12$$

اکنون معادله x=\frac{-30±534}{42} وقتی که ± منفی است حل کنید. 534 را از -30 تفریق کنید.

$$x=-\frac{564}{42}$$

کسر \frac{-564}{42} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 6، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x=-\frac{94}{7}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$21x^{2}+30x=3384$$

هر دو طرف بر 21 تقسیم شوند.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

تقسیم بر 21، ضرب در 21 را لغو می‌کند.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

کسر \frac{30}{21} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

کسر \frac{3384}{21} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 3، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

\frac{10}{7}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل \frac{5}{7} شود. سپس مجذور \frac{5}{7} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

\frac{5}{7} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، \frac{1128}{7} را به \frac{25}{49} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

عامل x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

ساده کنید.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

\frac{5}{7} را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$