حل 3y^2-11y+10=0

$$3 y ^ { 2 } - 11 y + 10 = 0$$

برای y حل کنید

$$y=2$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

مراحل استفاده از فاکتورگیری با گروه‌بندی

برای حل معادله، با گروه‌بندی سمت چپ از آن فاکتور بگیرید. ابتدا، سمت چپ باید به‌صورت 3y^{2}+ay+by+10 بازنویسی شود. برای یافتن a و b، دستگاهی را که باید حل شود تشکیل دهید.

$$a+b=-11 ab=3\times 10=30$$

از آنجا که ab مثبت است، a و b هم علامت هستند. از آنجا که a+b منفی است، a و b هر دو منفی هستند. تمام جفت‌های صحیح را که حاصلشان 30 است فهرست کنید.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

مجموع هر زوج را محاسبه کنید.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

جواب زوجی است که مجموع آن -11 است.

$$a=-6 b=-5$$

3y^{2}-11y+10 را به‌عنوان \left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right) بازنویسی کنید.

$$\left(3y^{2}-6y\right)+\left(-5y+10\right)$$

در گروه اول از 3y و در گروه دوم از -5 فاکتور بگیرید.

$$3y\left(y-2\right)-5\left(y-2\right)$$

با استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری، از جمله مشترک y-2 فاکتور بگیرید.

$$\left(y-2\right)\left(3y-5\right)$$

برای پیدا کردن جواب‌های معادله، y-2=0 و 3y-5=0 را حل کنید.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

مراحل استفاده از فرمول درجه دوم

همه معادله‌های به صورت ax^{2}+bx+c=0 را می‌توان با استفاده از فرمول درجه دوم حل کرد: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. فرمول درجه دوم دو راه‌حل ارائه می‌کند، یکی زمانی که ± یک به‌علاوه و دیگری زمامی که یک تفریق است.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

این معادله به صورت استاندارد است: ax^{2}+bx+c=0. 3 را با a، -11 را با b و 10 را با c در فرمول درجه دوم، \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} جایگزین کنید.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-11 را مجذور کنید.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

-4 بار 3.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\times 10}}{2\times 3}$$

-12 بار 10.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2\times 3}$$

121 را به -120 اضافه کنید.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

ریشه دوم 1 را به دست آورید.

$$y=\frac{-\left(-11\right)±1}{2\times 3}$$

متضاد -11 عبارت است از 11.

$$y=\frac{11±1}{2\times 3}$$

2 بار 3.

$$y=\frac{11±1}{6}$$

اکنون معادله y=\frac{11±1}{6} را وقتی که ± مثبت است حل کنید. 11 را به 1 اضافه کنید.

$$y=\frac{12}{6}$$

12 را بر 6 تقسیم کنید.

$$y=2$$

اکنون معادله y=\frac{11±1}{6} وقتی که ± منفی است حل کنید. 1 را از 11 تفریق کنید.

$$y=\frac{10}{6}$$

کسر \frac{10}{6} را با ریشه گرفتن و ساده کردن 2، به کمترین عبارت‌ها کاهش دهید.

$$y=\frac{5}{3}$$

این معادله اکنون حل شده است.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$

مراحل برای تکمیل مربع

معادلات درجه دوم مانند این مورد را می‌توان با تکمیل مربع حل کرد. به منظور تکمیل مربع، معادله باید ابتدا در قالب x^{2}+bx=c باشد.

$$3y^{2}-11y+10=0$$

10 را از هر دو طرف معادله تفریق کنید.

$$3y^{2}-11y+10-10=-10$$

تفریق 10 از خودش برابر با 0 می‌شود.

$$3y^{2}-11y=-10$$

هر دو طرف بر 3 تقسیم شوند.

$$\frac{3y^{2}-11y}{3}=-\frac{10}{3}$$

تقسیم بر 3، ضرب در 3 را لغو می‌کند.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{10}{3}$$

-\frac{11}{3}، ضريب جمله x را بر 2 تقسیم کنید تا حاصل -\frac{11}{6} شود. سپس مجذور -\frac{11}{6} را به هر دو طرف معادله اضافه کنید. این مرحله، طرف چپ معادله را به یک مربع کامل تبدیل می‌کند.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} را با مجذور کردن صورت کسر و مخرج کسر مجذور کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{121}{36}$$

با یافتن یک مخرج مشترک و اضافه کردن صورت کسرها، -\frac{10}{3} را به \frac{121}{36} اضافه کنید. سپس در صورت امکان، کسر را به کم‌ترین حالت ممکن ساده کنید.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{1}{36}$$

عامل y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. در مجموع، هرگاه x^{2}+bx+c یک مربع کامل باشد می‌تواند همیشه به عنوان \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} فاکتورگیری شود.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

ریشه دوم هر دو طرف معادله را به دست آورید.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

ساده کنید.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{1}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{1}{6}$$

\frac{11}{6} را به هر دو طرف معامله اضافه کنید.

$$y=2 y=\frac{5}{3}$$